Сидел, значит, на лекции по физике. Не выспавшийся в хлам. И вдруг ни с того ни с сего решил поиграться с одной интересной математической штучкой.
Представим график простейшей функции . Он представляет из себя, как ни странно, наклонную прямую, выходящую из центра координат. Теперь давайте разобьём график по единичным отрезкам на оси абсцисс, как на пикче 1. Площади получившихся фигур будут составлять 0,5, 1,5, 2,5 и так далее. Не очень красиво, давайте добьём до целой части, добавив снизу по прямоугольнику 1*0,5. Иными словами, поднимем наш график на 0,5, поменяв функцию на . Теперь у нас получается график пикчи 2, где площади фигур будут 1, 2, 3 и так далее, что нетрудно проверить с помощью формулы площади трапеции.
А давайте-ка теперь попробуем их сложить по порядку. Чему будет равна суммарная площадь первых n трапеций? Левая сторона a у нас неизменно равна 0,5. Правая b, согласно уравнению функции, . Высота трапеции h совпадает с осью абсцисс и соответственно равна n. Подставив эти значения в общую формулу площади трапеции , получим .
Хехе, да-да, так оно и есть, это формула суммы арифметической прогрессии с единичным шагом от единицы. Также её можно было бы вывести через интеграл, но согласитесь, выбранный мной способ конкретно в данном случае наиболее нагляден.
Очевидно, арифметическая прогрессия сама по себе штука дискретная, то бишь не непрерывная, а состоящая из отдельных условно неделимых частей. Однако благодаря тем формулам, которые я вывел, мы можем обобщить и члены арифметической прогрессии, и их сумму на вещественные числа. Таким образом, x-ый член нашей прогрессии равен x, сумма первых x элементов прогрессии — , а производная этой суммы — .
И вот тут мне стало интересно. А в какой точке производная суммы будет равна этой сумме?
Не, решение, конечно, предельно простое, но что с того, что в какой-то точке сумма равна своей производной? В чём физический или хотя бы геометрический смысл этой точки? Честно говоря, мне самому это интересно, так что кто шарит — объясните пж.
В общем, получив искомое значение, я не мог не обрадоваться, ведь им оказалось золотое сечение (обозначается буквой Ф, только греческой). Но это ещё не все. У золотого сечения, помимо всего прочего, есть одно интересное свойство: . Таким образом, наша сумма для золотого сечения равна . Кому как, а я с этого неплохо повеселился.